Matematiikkaa ja taidetta opettajille

LUMATIKKA-ohjelman verkkokurssilla Matematiikka ja taide esitellään monipuolisesti matematiikan ja taiteen yhteyksiä. Kurssin rikkaasta ideapankista voit ammentaa uusia ideoita esimerkiksi kuvataidetta, käsitöitä ja matematiikkaa yhdisteleviin monialaisiin oppimiskokonaisuuksiin. Tule kurssille viihtymään kappaleiden rakentelun, pintojen virkkaamisen, laatoitusten värittämisen, fraktaalien tuottamisen ja solmujen solmimisen parissa.

Kurssi soveltuu varhaiskasvatuksen ja luokanopettajille sekä matematiikan, kuvataiteen ja käsityön aineenopettajille kaikilla asteilla. Ihanteellisinta on, jos kurssille osallistuu tiede- ja taideaineiden opettajia, joilla on mahdollisuus ideoida yhteistyötä omassa koulussaan tai päiväkodissaan.

Myös alan opiskelijoille on hyötyä kurssin materiaaleista, mutta opetuskokeilun suorittamiseen tulee olla opetusryhmä käytettävissä.

Verkko-opinnot keväällä 2021

Kurssin oppimisympäristö avautuu osallistujille 11.1.2021. Kurssisuoritukset tulee olla palautettuna 18.4.2021 mennessä. Tuolla aikavälillä opinnot voi aloittaa haluamanaan ajankohtana ja edetä omassa tahdissa.

Kurssille voi ilmoittautua etukäteen tämän sivun kautta 2.11.2020-10.1.2021. Ilmoittautuneille lähetetään kurssin alkaessa ohjeet kurssialueelle liittymiseen.

LUE LISÄÄ KURSSIN SISÄLLÖSTÄAIKATAULUT JA ILMOITTAUTUMINEN


Teksti: Hannu Korhonen
Juttu on julkaistu alunperin Dimensio-lehdessä 10.6.2020

Koulumatematiikan mielletään koostuvan luvuista ja laskemisesta, kuvioista ja kappaleista, polynomeista ja yhtälöistä, derivaatoista ja integraaleista. Kuitenkin matematiikan yhteydet muihin kulttuurin alueisiin ovat tärkeitä kiinnostuksen herättämiseksi ja matematiikan merkityksen [1] osoittamiseksi. Oppiminenkaan ei ehkä aina ala sujuvimmin matematiikan omista käsitteistä, vaan toiminnallisesta osallistumisesta ja ympäristön hahmottamisesta [2]. Taide tarjoaa tähän monenlaisia tarttumapintoja sen lisäksi, että taiteilijat käyttävät hyväkseen matematiikkaa ja ovat käyttäneet jo vuosisatojen ajan. Näitä aineksia tarjoaa opettajille matematiikka ja taide -verkkokurssi.

Matematiikka ja taide [3] on yksi LUMA-keskuksen [4] Lumatikka-täydennyskoulutusohjelman kahdestatoista kurssista. Toiminnan tarpeellisuutta osoittaa, että viime vuoden aikana saatiin koko ohjelmaan noin 1500 osallistumisilmoitusta, tosin aika moni osallistui useammallekin kurssille. Matematiikka ja taide -kurssille ilmoittautui tänä keväänä satakunta opettajaa, varsin tasaisesti varhaiskasvatuksesta, esiopetuksesta, alkuopetuksesta, peruskoulun alaluokilta ja yläluokilta, lukiosta vain kuusi, pari ammatillisesta koulutuksesta sekä muutama muukin kuin aktiiviopettaja. Kurssin suorittaneiden määrä on vielä avoinna tätä kirjoitettaessa toukokuun alkupuolella, sillä suoritusaikaa on vielä.

Hanketyöryhmä on halunnut rakentaa ohjelman niin, että osallistujat saavat sekä virikkeitä didaktiseen ajatteluunsa että suoraan päiväkotiin tai kouluun vietäviä oppimistehtäviä oppilaille.  Kurssisisältöinä on monipuolinen kokoelma fraktaaleja, laatoituksia, kultainen leikkaus, origameja ja muuta paperitaidetta, kuvioita ja kappaleita, solmuja, symmetriaa ym. Paljon siinä on tuttua, esimerkiksi sellaista, jota on esitelty tämän lehden askartelu- ja perushahmotussarjoissa, mutta myös ihan uutta, josta en ollut koskaan kuullutkaan, esimerkiksi Hintonin palikat [5].

Hintonin palikat [5]

Taideaiheilla voidaan herättää kiinnostusta, lisätä toiminnallisuutta, monipuolistaa työtapoja ja parhaimmillaan vaikuttaa sekä opettajan että oppilaan matematiikkakuvaan. Ne tarjoavat myös luontevia mahdollisuuksia kuvataidetta, käsitöitä ja matematiikkaa yhdisteleviin monialaisiin ja -aistisiin oppimiskokonaisuuksiin. Osallistujia kannustetaan kehittämään ja jakamaan omia käytänteitään. Ohjelman rakenne ja osallistujien monenlainen tausta mahdollistaa myös ajatusten vaihdon muilla koulutusasteilla opettavien kollegoiden kanssa.

Kurssin yhtenä osana on oman opetustuokion suunnittelu. Aihekirjo osoittautui laajaksi: värittämistä, piirtämistä, paperin leikkelyä ja taittamista, virkkaamista ja kappaleiden rakentamista. Varsinkin viimeksi mainittua aihetta toteutettiin kaikenikäisille ja kaikenlaisille oppilaille varhaiskasvatuksesta aikuisopetuksen, myös kolmiulotteisia rakennelmia kaikenlaisilla materiaaleilla hammastikuista ja pihlajamarjoista lähtien.  Vielä kolmannellakin luokalla kehyskertomus tekee oppimisesta hauskempaa, kun esimerkiksi kiinalainen muna ei ole esillä vain geometristen muotojensa tarkastelua varten, vaan se nimetäänkin ystävyyden munaksi ja tavoitteena on tehdä ystävänpäiväkortti.  On myös helppo ymmärtää, että Platonin kappaleet avautuvat seiskaluokkalaiselle ihan uudella tavalla piparitaikinasta rakennettuina.

Samat toimintatavat viehättävät sekä varhaiskasvatuksessa että lukiossa. Matemaattinen kohde vain saattaa olla erilainen. Kaarinalaisen Koriston päiväkodin Perhosten ryhmän lapset olivat ihmetelleet eteisaulan seinäpinnan elävöittämiseen suunnitellun ristikon harmautta. Värityshankkeen aikana monenlaiset suorakulmiot tulivat läheisiksi tutuiksi. Työ innosti jälkeenpäinkin lapsia monikulmiomosaiikkien itsenäiseen suunnitteluun. Onpa seinästä apua odotteluleikeissäkin, kun lasketaan, kuinka monta kunkin väristä kuvioita on tai kun etsitään samanvärisiä kuvioita kuin oma takki tai sukat.

Kannuksen lukion pitkän matematiikan geometrian kurssilla piirrettiin aluksi harpilla ympyräkaksosia [6] hahmottamisen, kertaamisen ja syventämisen mielessä.  Kuvasta [7] etsittiin sitten geometrisia objekteja, myös niitä, joita leikkauspisteiden joukot määrittelevät. Näistä keskinormaali on helppo, mutta ellipsi ja hyperbeli vaativat jo miettimistä. Lopuksi opiskelijat innostuivat värittämään kuvioitaan ja tuottivat opettajansa arvion mukaan upeita taideteoksia.

Kuvat: Sari Pirttimäki, Kaarina (vasen) ja Eija-Riitta Kohal, Kannus (oikea)

Jotkut töistä näyttävät työläiltä tarkoitukseensa nähden. Järvenpään Koivusaaren koulun seitsemäsluokkalaiset tekivät origamityynyjä, jonka taittelussa on monta vaihetta [8].  Tavoitteena oli suorakulmioon liittyvien nimitysten kertaaminen ja avaruudellisen tilavaikutelman hahmotuskyvyn kehittäminen. Hyvin sujui kuitenkin. ”Oppilaat tekivät innokkaasti jakolinjat arkkeihin ja yhdistämisen kulmista. – – Osa ryhmistä (nopeimmat) tekivät 2 tyynyä. Uskon, että matematiikan ja muut tavoitteet saavutettiin”, Juha Alanne kirjoittaa raportissaan.

Koulumatematiikka on keskittynyt laskentapainotteisuutensa takia vanhastaan suhteellisen yksinkertaisiin kuvioihin ja kappaleisiin. Monimutkainenkin matemaattinen objekti voi kuitenkin toimia myös pienten lasten toiminnan lähtökohtana niin kuin Tarja Koukkarin Seinäjoen Pikkumetsä-päiväkodin esikoululaisille suunnittelema matematiikka ja taide -tuokio todistaa. Toiminta perustui työskentelyyn ja lasten omaan ideointiin eikä tarkkoihin ohjeisiin ja käsitteelliseen keskusteluun.

”Esiopetuksessa puhutaan laaja-alaisesta osaamisesta. Ei irroteta matematiikkaa irrallisiksi oppituokioiksi. Opetus rakentuu kiinnostavien projektien varaan. – –  Ne sisältävät monipuolisesti eri oppisisältöjä. Kaikki liittyy kaikkeen, niin sanotusti”, kirjoittaa Koukkari. Kurssityötuokion lähtökohtana oli kultaista spiraalia esittävä postikortti [9]. Sitä ei kuitenkaan näytetty heti aluksi, vaan innostus herätettiin kysymyksellä ”kuka haluaa maalata”. Toiminnallisesta tehtävästä aloittaminen herättää uteliaisuuden, asettaa haasteen ja ruokkii mielikuvitusta. ”Jokainen haluaa, että oma idea huomataan. – – Kaikki vastaukset hyväksytään, jokainen on yhtä hyvä”, jatkaa Koukkari. Spiraalin opettaja oli mielessään nimennyt ”fraktaalietanaksi”. Maalauksistaan lapset käyttivät sanoja tonttu, sisilisko, kahvikuppi, käärme ja merisimpukka. ”He olivat tyytyväisiä maalauksiinsa ja ne olivatkin hienoja. Mutta tässä se keskustelu ´Hei, meidänhän piti maalata matikkaa?´ ja mielikuvituksen valloilleen pääsy maalatessa olivat ne tärkeimmät asiat.”

Kuvat: vasen kuva lähteestä [7], muut Tarja Koukkari.

Kultainen spiraali [10] voidaan rakentaa vaiheittain lähtemällä yksikköneliöstä. Sen viereen piirretään kultainen suorakulmio, jonka pitempi sivu on 1. Sitten piirretään isompia neliöitä kuvan mukaisesti (vasen kuva alla). Niiden sivut ovat siis 1, 1+φ, 2+φ, 3+2φ, 5+3φ, 8+5φ, … , missä φ=5−12  eli jatkuvaan suhteeseen jaetun yksikköjanan suurempi osa. Lopuksi piirretään neljännesympyrän kaaret kuhunkin neliöön. Fibonaccin spiraali [11] on samantapainen. Sen rakenneneliöiden sivut vain ovat Fibonaccin jonon mukaiset 1, 1, 2, 3, 5, 8, … (oikeanpuolimmainen kuva). Muodoltaan ne muistuttavat toisiaan ja myös logaritmista spiraalia.

Matematiikan ja taiteen yhteyksiä voidaan katsoa monesta näkökulmasta, joista kouluoppiminen on yksi. Taitelijat ovat käyttäneet matematiikka monella tavalla. Esimerkiksi geometrinen taide [12] on abstraktin taiteen osa-alue ja kultaista leikkausta on käytetty paljon sommittelussa. Taiteilijoiden tuotokset ovat toisaalta myös suunnanneet matematiikan tutkimusta. Kuvaava esimerkki on islamilainen ornamentiikka, joka kiteytyi matematiikassa tason symmetriaryhmien teoriaksi [13]. Vaikka aihepiiri on tarkkaan tutkittu, niin uudetkin ideat ovat edelleen mahdollisia, minkä todistaa suomalaisen Markus Rissasen tällä vuosituhannella tekemä laatoituskeksintö [14].  Muita esimerkkejä taiteen ja matematiikan yhteyksistä ovat myös geometrisen perspektiivin käyttöönotto maalaustaiteessa renessanssin aikana [15] ja epäeuklidisen geometrian ideoihin perustuvat C. M. Esherin työt [16].

Hannu Korhonen
Orimattila

Lähteitä ja lisää luettavaa:

[1]     Esimerkiksi TIMSS 2011 International Results in Mathematics, s. 25, osoitteessa https://timssandpirls.bc.edu/timss2011/downloads/T11_IR_M_Introduction.pdf

[2]    Esimerkiksi  Varga-Neményi –menetelmä osoitteessa https://varganemenyi.fi/koulutus/23-varga-nemenyi-menetelma/menetelman-periaattee

[3]    Matematiikka ja taide -kurssin esittely sivulla https://lumatikka.luma.fi/matematiikka-ja-taide/

[4]    LUMA-keskus Suomi: Hankkeet ja ohjelmat sivulla https://www.luma.fi/keskus/hankkeet/

[5]    Luotoniemi, T. Hintonin palikat osoitteessa http://matharts.aalto.fi/HintoninPalikat.pdf

[6]    Joki, J. Tasogeometrian punainen lanka. MFKA-kustannus, 1995.

[7]    Geogebra-materiaali Ympyräkaksoset osoitteessa https://www.geogebra.org/m/gqtbds6f

[8]    Cushions sivulla http://www.origamiheaven.com/pdfs/cushions.pdf

[9]    Price, R. The Golden Spiral osoitteessa https://www.redbubble.com/i/postcard/The-Golden-Spiral-by-wanungara/9824590.V7PMD

[10]    Geogebramateriaali Kultainen spiraali osoitteessa https://www.geogebra.org/m/kevtkn5f

[11]    Geogebra-materiaali Fibonaccin spiraali osoitteessa https://www.geogebra.org/m/yp4ujhfg

[12]    Esimerkiksi Marinho, R. What is Geometric Art osoitteessa https://medium.com/@regiaart/what-is-geometric-art-94a8b0f49118

[13]    Korhonen, H. Laatoitusten geometriaa. Dimensio 1/2019, 46–48; myös Dimensio, e-lehti, toukokuu 2019, osoitteessa https://www.dimensiolehti.fi/laatoitusten-geometriaa/

[14]    Korhonen, H. Sub rosa. Dimensio 6/2018, 40–41.

[15]    National Gallery.  Cross-curricular ideas: Mathematics and Renaissance art  osoitteessa https://www.nationalgallery.org.uk/learning/teachers-and-schools/picture-in-focus/cross-curricular-ideas/mathematics

[16]    Koponen, J. Matematiikka ja taide geometrisessä maailmassa. Pro gradu -työ, Helsingin yliopisto 2015. Saatavissa osoitteesta https://helda.helsinki.fi/bitstream/handle/10138/153063/gradu_jkoponen.pdf?sequence=2


LUMATIKKA on Opetushallituksen rahoittama ja LUMA-keskus Suomi -verkoston koordinoima matematiikan opetuksen ja oppimisen täydennyskoulutusohjelma. Koulutus on suunnattu varhaiskasvatuksen, esiopetuksen, perusopetuksen ja toisen asteen opettajille. Ohjelman verkkokurssit ovat osallistujille maksuttomia.

Lisätietoja: LUMATIKKA-verkkosivu | info@lumatikka.luma.fi

Matematiikka ympärillämme -verkkopaneeli

verkkopaneelikeskustelujen aikataulut (tekstinä artikkelin lopussa)

Korona-epidemian takia perinteiset valtakunnalliset LUMA-päivät Espoon Otaniemessä jouduttiin siirtämään vuodelle 2021. LUMA-päivien ajan järjestetään kuitenkin tapahtumia verkon välityksellä.

Matematiikka ympärillämme 5.6. kello 11-12

Yksi virtuaalisista LUMA-päivien tapahtumista on LUMA 2020 -ohjelman yhteydessä toteutettava verkkokeskustelupaneeli matematiikan opetuksesta STEAM-hengessä.

Mistä kaikkialta matematiikkaa oikein löytyy? Miten hyvä matematiikan oppimisprojekti syntyy ja millaista matematiikan monialainen opetus on parhaimmillaan? Tule kuulemaan ja keskustelemaan matematiikan eheyttävästä opetuksesta ja nappaamaan parhaat ideat omaan opetukseesi.

Puheenjohtajina Eveliina Hietakymi ja Saara Lehto, Helsingin yliopisto.
Panelisteina:

  • Piia Haapsaari, Vuoden 2020 matematiikan opettaja, Kastellin lukio
  • Jani Hannula, päätoiminen tuntiopettaja, Viikin normaalikoulun yläkoulu ja lukio
  • Markku Hannula, matematiikan didaktiikan professori, Helsingin yliopisto
  • Jonna Kangas, varhaiskasvatuksen yliopistonlehtori, Helsingin yliopisto

Paneeli käydään videoviestintäpalvelu Zoomin välityksellä. Voit ladata Zoom-sovelluksen tietokoneellesi tai mobiililaitteellesi tai käyttää sitä selaimessa.

Paneelikeskustelun tallenne

Keskustelussa viitatut linkit on kerätty tähän tiedostoon.

Muuta LUMA-päivien virtuaalista ohjelmaa

June 2nd, 2020
https://www.luma.fi/en/lumat-2020/
June 3rd – 4th, 2020
4th of June 2020 at 2 pm (UTC +3)
Paneelikeskustelut Zoomissa
Teknologia ympärillämme 4.6. kello 11-12
Minun LUMAni 4.6. kello 13-14
Matematiikka ympärillämme 5.6. kello 11-12
Kestävä kehitys 5.6. kello 13-14

Paneelikeskustelujen tallenteet löytyvät tältä sivulta.
5.6. kokous neuvottelukunnan edustajille

Virtuaaliset opehuoneet 7.5. ja 12.5. monialaisesta projektioppimisesta

ihmisiä yhdessä tutkimassa matemaattisia kaavoja

Tervetuloa StarT:n virtuaaliseen opehuoneeseen!

StarT:n opehuone on paikka kaikille opettajille varhaiskasvatuksesta toiselle asteelle projektioppimiseen liittyvien kokemuksien, ideoiden ja hyvien käytänteiden jakamiseen.  Opehuoneessa voidaan keskustella vaikka monialaisten ja tutkimuksellisten projektien toteuttamisesta, miten oppilaslähtöisyyttä voi toteuttaa tai hyvistä arviointitavoista ja tavoitteista eheyttävälle ja monialaiselle projektioppimiselle.

Ensimmäiset  opehuonekeskustelut pidetään to 7.5. ja ti 12.5. klo 15-16. Keskustelun lisäksi ohjelmassa on StarT-kauden 2020 kansallisiksi parhaiksi valittuje projekti-ideoiden sekä hyvien käytänteiden esittelyä. 

StarT-opehuoneet järjestetään Zoomissa, linkki tapahtumaan ja lisätietoa löytyy StarTin tapahtumakalenterista


StarT on LUMA-keskus Suomi -verkoston toteuttama ohjelma opetussuunnitelman mukaisen monialaisen ja yhteisöllisen projektioppimisen toteuttamiseen. LUMATIKKA ja StarT toteuttavat yhteistyössä verkkokurssin Projektit opetuksen polkimena. Lue lisää StarT-ohjelmasta

Projektioppimiseen potkua verkkokurssilta

Kaikilla koulutusasteilla työskenteleville opettajille ja kasvattajille suunnatun Projektit opetuksen polkimena -verkkokurssi on suoritettavissa 2.9.2019-31.5.2020. Kurssi toteutetaan yhteistyössä StarT-ohjelman sekä Arkielämän ilmioitä ja Projektioppiminen yläkoulun matematikkassa -kehityshankkeiden kanssa.

Projektioppiminen tuo matematiikan, luonnontieteiden, ympäristöopin ja teknologian opetukseen lisäarvoa syventämällä ja laajentamalla oppijoiden tietoja ja taitoja. Projektien avulla oppijat pääsevät näkemään, mihin kaikkeen arjessa tarvitaan matematiikkaa ja luonnontieteitä. Opetuksesta tulee oppijalähtöistä, ja oppijat ovat aktiivisia toimijoita oppimisprosessin aikana. Aineen opetus monipuolistuu, kun eheyttävä ja ilmiöpohjainen opetus sulautuvat luonnollisesti projektityöskentelyyn. Matematiikan ja luonnontieteiden lisäksi oppijat harjoittelevat muita työelämätaitoja, kuten yhteistyö- ja vuorovaikutustaitoja.

Projektit opetuksen polkimena -kurssin tavoitteena on antaa sinulle uusia työkaluja opetuksesi kehittämiseen, kannustaa sinua käyttämään projektioppimista matematiikan ja muiden LUMA-aineiden opetuksessa sekä tukea sinua projektioppimiskokonaisuuden toteutuksessa.

Tällä kurssilla tutustut projektioppimiseen ja sen arviointiin yleisesti matematiikan ja muiden LUMA-aineiden opetuksen näkökulmasta ns. teoriaosuudessa, joka on avoinna 2.9.2019 alkaen kaikille aiheesta kiinnostuneille. Teoriaosuuden voi suorittaa itsenäisesti täysin omassa aikataulussa, kuitenkin 31.5.2020 mennessä. Teoriaosan tehneet voivat kirjata 1 op laajuisen suorituksen osaksi LUMATIKKA-ohjelman valinnaista osiota tai Arjen ilmiöitä ja monialaisia projekteja LUMA-aineiden opetuksessa -koulutusta.

Käytännön osuudessa voit eriytyä joko matematiikan opetuksen näkökulmaan (1 op osaksi LUMATIKKA-hanketta) tai muiden LUMA-aineiden näkökulmaan (1 op Arjen ilmiöihin). Käytännön osassa laadit oman projektioppimiskokonaisuuden, josta saat vertaispalautetta muilta osallistujilta. Kurssilla saat konkreettisia opetusmalleja ja materiaaleja oman opetuksen suunnittelun tueksi. Matematiikan opetukseen eriytyvään käytännön osa on suoritettavissa 27.1.-25.6.2020.

LUE LISÄÄ KURSSISTA JA ALOITA OPINNOT